Von Homogenen Feldern zu Inhomogenen Magnetfeldern

This was a little high-school presentation I held. It superficially explains the theoretical transition from working with homogenous magentic fields to nonhomogenous fields.

1. Homogenes Magnetfeld
2. Inhomogenität
3. Tensoren
   1. Wechsel des Koordinatensystems
4. Eigenwerte
5. $\vec{B}$ als Tensor
6. Definition inhomogener Magnetfelder

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• Wir lernen: Gradient, Tensoren, Koordinatenwechsel (mittels Jakobi), Eigenwerte,

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Das homogene Magnetfeld

$\vec{B}=\mu \_0NI,\hat{z}=B\_0\hat{z}$

$\mu \_0=\frac{1}{ϵ\_0c^2}$

• Feldlinien: parallel, äquidistant, gerade
• $\nabla \vec{B}=0$ keine räumliche Variation
• Kartesische Koordinaten ausreichend

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Inhomohenität

• Feldlinien keine Geraden mehr
• Räumliche Variation → $\nabla \vec{B}\ne 0$
• Skalare und Vektoren beschreiben nur eine Richtung gleichzeitig

Tensoren beschreiben die Variation von $\vec{B}$ in alle Raumrichtungen simultan.

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Tensor

Skalar → Vektor → Tensor

$\mathbf{T}:\vec{v}\mapsto \vec{w}=\mathbf{T}\vec{v}$, linear, koordinatenunabhängig.

Die Matrix ist nur eine Darstellung in einer gewählten Basis.

Basiswechsel mit Matrix $P$.

$T^{\prime }=P^{\top }TP$

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Koordinatenwechsel

Koordinatenwechsel auf sphärische Koordinaten $(r,\theta ,\varphi )$:

$$\begin{gathered} x(\rho ,\varphi ,\theta ), \\ y(\rho ,\varphi ,\theta ),z(\rho ,\varphi ,\theta ),\to H(\rho ,\varphi ,\theta ) \end{gathered}$$

$x=r\sin \theta \cos \varphi ,y=r\sin \theta \sin \varphi ,z=r\cos \theta$

Mittels Jacobian Substitution:

$\iiint \_DF(x,y,z)dxdydz=\underbrace{\iiint \_RH(\rho ,\varphi ,\theta )|J(\rho ,\varphi ,\theta )|d\rho d\varphi d\theta }\_\text{Wenn richtig gewa¨hlt, einfacher}$

$$J\_ij=\frac{\partial x\_i}{\partial q\_j}$$

$\det (J)$ ~ Misst wie stark der Koordinatenwechsel das Volumenelement lokal streckt oder staucht.

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$\iiint r^2\sin \theta ;dr,d\theta ,d\varphi =\int \_0^R{r}^2,dr\cdot \int \_0^{\pi }\sin \theta ,d\theta \cdot \int \_0^{2\pi }d\varphi =\frac{4}{3}\pi R^3✓$

Der Jacobi ist ein Tensor, denn er steckt in jedem Koordinatenwechsel.

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Eigenwerte und Eigenvektoren

$A\vec{v}=\lambda \vec{v}$

• $\vec{v}$: Eigenvektor: Richtung, die $A$ nicht verändert
• $\lambda$: Eigenwert: der Streckfaktor

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Diagonalisierung:

$T=PD{P}^{-1},D=\mathrm{diag}(\lambda \_1,\lambda \_2,\lambda \_3)$

Eigenwerte des Jacobi

Hauptachsen der Spherical Coordinates Transformation:

Richtung	Eigenvektor	Eigenwert (Streckfaktor)
Radial	$\hat{r}$	$1$
Poloidaal	$\hat{\theta }$	$r$
Azimutal	$\hat{\varphi }$	$r\sin \theta$

Das sind Skalenfaktoren der Kugelkoordinaten.

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$\nabla \vec{B}$ als physikalischer Tensor

Konstruktion: $(\nabla \vec{B})\_ij=\frac{\partial B\_i}{\partial x\_j}\Rightarrow \text{3×3-Tensor}$

Maxwell’sches Gesetz

$\nabla \cdot \vec{B}=0⟺\mathrm{tr}(\nabla \vec{B})=\sum \_k\lambda \_k=0$

Feld muss in $x$ wachsen und woanders fallen ($y$) → Die Eigenwerte summieren immer zu null.

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Reale Magnetfelder

Unser Weg

$\underset{\nabla \vec{B}=0,;\lambda \_k=0}{\underbrace{\vec{B}=\text{const}}}\stackrel{\text{Inhomogenita¨t}}{\to }\underbrace{(\nabla \vec{B}{)}_{ij}=\frac{\partial B\_i}{\partial x\_j}}\_\text{Eigenwerte}=\text{Hauptgradienten}$

Die Effekte des Tensor:

• Eigenwerte: Hauptveränderungsraten des Feldes
• Eigenvektoren: Richtungen stärkster/schwächster Variation
• $tr(\vec{B})=0$: Maxwells Gesetz als algebraische Zwangsbedingung

In jeder realen Geometrie (zylindrisch, toroidal, helikal, …) ist $\nabla \vec{B}$ das erste Objekt, das man aufschreibt.

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$$\vec{B}=yi+2zj+3xk$$

Ein Proton bei $r\_0=(1,1,1)$ bewegt sich um $\Delta r=(0.1,0,0)$ in $\vec{B}$

Berechne die Lorentzkraftkomponente des Magnetfelds, die während der Bewegung auf das Proton wirkt.